Área da Elipse
Calcula a área da elipse.
Fórmula da área da elipse
A área da elipse é A = π × a × b, onde a é o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor — as metades dos dois eixos, medidas do centro até a borda.
A fórmula é a generalização natural da do círculo. No círculo, a e b são iguais ao raio, e π × a × b vira π × r². Geometricamente, uma elipse é um círculo achatado em uma direção: se você tomar um círculo de raio a e comprimir tudo verticalmente pelo fator b/a, obtém a elipse — e a área acompanha o mesmo fator de compressão.
Exemplo resolvido
Uma elipse tem semi-eixo maior de 6 cm e semi-eixo menor de 4 cm:
A = π × 6 × 4 = π × 24 = 75,398 cm².
Se as medidas que você tem são os eixos completos (12 cm e 8 cm), divida cada uma por dois antes de entrar na calculadora. Confundir eixo com semi-eixo multiplica o resultado por quatro — é o mesmo tipo de armadilha do raio e do diâmetro no círculo.
E o perímetro?
Vale saber: ao contrário da área, o perímetro da elipse não tem fórmula fechada elementar. Ele só é expresso exatamente por uma integral elíptica, e na prática se usa aproximações como a de Ramanujan. É por isso que esta calculadora entrega a área, que é exata, e não o perímetro. A área da elipse é um dos raros casos em que a fórmula simples é a exata e o perímetro é que é complicado — o inverso do que acontece na maioria das figuras.
Onde esse cálculo aparece
Astronomia: as órbitas dos planetas são elipses com o Sol em um dos focos, conforme a primeira lei de Kepler. A excentricidade da elipse descreve o quanto a órbita foge do círculo.
Engenharia e arquitetura: arcos elípticos, cúpulas, tanques e dutos de seção elíptica exigem o cálculo da área da seção para dimensionar vazão e resistência.
Óptica e acústica: refletores elípticos concentram no segundo foco tudo o que parte do primeiro — princípio usado em luminárias cirúrgicas, litotripsia e salas com "galeria de sussurros".
Design: mesas, espelhos, piscinas e canteiros ovais são dimensionados por essa fórmula na hora de orçar material.
Erros comuns
O principal é informar os eixos completos em vez dos semi-eixos. O segundo é tentar calcular a área de um oval qualquer com essa fórmula: nem toda figura arredondada e alongada é uma elipse — a elipse tem definição matemática precisa (soma constante das distâncias a dois focos), e um contorno desenhado à mão não a satisfaz. Por fim, a fórmula vale só para a elipse completa; para um setor ou segmento elíptico o cálculo é outro.
Continue por aqui
- Área do Círculo — quando os dois semieixos são iguais, a fórmula da elipse vira a do círculo.
- Área do Quadrado — para comparar com a figura de fórmula mais simples.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre eixo e semi-eixo da elipse?
O eixo é a medida completa, de borda a borda passando pelo centro; o semi-eixo é a metade, do centro até a borda. A fórmula usa os semi-eixos. Informar os eixos completos multiplica o resultado por quatro.
Como calcular o perímetro da elipse?
Não existe fórmula elementar exata: o perímetro da elipse só é expresso por integrais elípticas, e na prática se usa aproximações como a de Ramanujan. A área, por outro lado, é exata e simples — π × a × b.
A fórmula da elipse serve para qualquer figura oval?
Não. A elipse tem definição matemática precisa (a soma das distâncias de cada ponto a dois focos é constante). Um contorno oval desenhado à mão não satisfaz essa condição e precisa ser medido por aproximação ou decomposição.
Por que a fórmula do círculo é um caso particular da elipse?
Porque no círculo os dois semi-eixos são iguais ao raio. Substituindo a = b = r em A = π × a × b, obtém-se A = π × r². O círculo é uma elipse de excentricidade zero.