Área do Pentágono
Calcula a área do pentágono regular.
Fórmula da área do pentágono regular
A área do pentágono regular — cinco lados iguais e cinco ângulos iguais — é A = (√(25 + 10√5) × l²) / 4, onde l é a medida do lado. Numericamente, isso equivale a A ≈ 1,7205 × l², constante prática para conferir resultados de cabeça.
Existe um caminho mais intuitivo, que funciona para qualquer polígono regular: A = (P × ap) / 2, perímetro vezes apótema dividido por dois. A apótema é a distância do centro até o meio de um lado. A lógica: ligue o centro a cada vértice e o pentágono se divide em cinco triângulos idênticos de base l e altura igual à apótema. Cinco vezes (l × ap)/2 é o mesmo que (5l × ap)/2, e 5l é o perímetro.
Exemplo resolvido
Um pentágono regular tem lado de 5 cm:
A = 1,7205 × 5² = 1,7205 × 25 = 43,012 cm².
Pelo caminho da apótema, chega-se ao mesmo lugar: a apótema é 3,441 cm, o perímetro é 25 cm, e (25 × 3,441) / 2 = 43,012 cm². Cada ângulo interno do pentágono regular mede 108°, e a soma dos cinco dá 540°.
O pentágono e a proporção áurea
O √5 que aparece na fórmula não é coincidência. No pentágono regular, a razão entre a diagonal e o lado é exatamente o número de ouro φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618. As cinco diagonais desenhadas dentro do pentágono formam um pentagrama, e cada segmento dessa estrela se relaciona com o seguinte por φ. Foi essa propriedade que fez do pentagrama o símbolo da escola pitagórica, e é ela que faz a fórmula da área carregar uma raiz de cinco.
Onde esse cálculo aparece
Arquitetura e engenharia: plantas pentagonais aparecem em fortificações — o Pentágono americano é o exemplo mais conhecido — e em torres e bases de estruturas.
Design e sinalização: placas, selos, brasões e logotipos usam o pentágono pela estabilidade visual da forma.
Geometria escolar: é o polígono regular onde a fórmula do apótema costuma ser ensinada, justamente por não ter atalho tão simples quanto quadrado ou hexágono.
Química e biologia: anéis pentagonais aparecem na ribose e na desoxirribose, os açúcares do RNA e do DNA.
Erros comuns
Esta fórmula vale apenas para o pentágono regular. Um pentágono irregular, com lados ou ângulos diferentes, precisa ser dividido em triângulos cujas áreas se somam. Outro erro é confundir apótema com raio: a apótema vai do centro ao meio do lado, o raio vai do centro ao vértice, e o raio é sempre maior. E, ao usar a constante 1,7205, lembre que ela multiplica o lado ao quadrado, não o lado.
Continue por aqui
- Área do Hexágono — o polígono regular seguinte, com a mesma lógica de apótema.
- Área do Círculo — todo polígono regular tende ao círculo conforme os lados aumentam.
Perguntas frequentes
Qual a fórmula simplificada da área do pentágono regular?
A ≈ 1,7205 × l². Um pentágono regular de 5 cm de lado tem área 1,7205 × 25 = 43,01 cm². A constante vem de √(25 + 10√5) / 4.
O que é a apótema e como usá-la?
É a distância do centro até o meio de um lado. Com ela, a área de qualquer polígono regular sai por A = (perímetro × apótema)/2. Num pentágono de lado 5, a apótema é 3,441 e a área é (25 × 3,441)/2 = 43,01 cm².
A fórmula serve para pentágono irregular?
Não. Ela vale só para o pentágono regular, com os cinco lados e os cinco ângulos iguais. Pentágonos irregulares precisam ser divididos em triângulos, com as áreas somadas.
Quanto mede cada ângulo interno do pentágono regular?
108 graus. A soma dos ângulos internos de qualquer pentágono é 540°, e no regular esse total se divide igualmente entre os cinco vértices.