Área do Hexágono
Calcula a área do hexágono regular.
Fórmula da área do hexágono regular
A área do hexágono regular é A = (3√3 × l²) / 2, onde l é o lado. Numericamente, A ≈ 2,598 × l².
A demonstração é a mais elegante entre os polígonos regulares: ligue o centro do hexágono a cada um dos seis vértices e você obtém seis triângulos equiláteros de lado l — não triângulos quaisquer, equiláteros mesmo, porque o raio do hexágono regular é igual ao seu lado. Como a área do triângulo equilátero é (l² × √3) / 4, seis deles dão (6 × l² × √3) / 4, que simplifica para (3√3 × l²) / 2.
Exemplo resolvido
Um hexágono regular tem lado de 4 cm:
A = 2,598 × 4² = 2,598 × 16 = 41,569 cm².
Conferindo pelos seis triângulos equiláteros: cada um tem área (16 × 1,7320) / 4 = 6,928 cm², e seis deles somam os mesmos 41,569 cm². O perímetro é 6 × 4 = 24 cm e a apótema é 3,464 cm. Cada ângulo interno mede 120°.
Por que a natureza escolhe o hexágono
Entre as três formas que preenchem o plano sem deixar vão — triângulo, quadrado e hexágono — o hexágono é a que envolve mais área com menos perímetro. Traduzindo: para armazenar um mesmo volume, uma malha hexagonal gasta menos material de parede que qualquer outra. É o teorema do favo de mel, conjecturado na Antiguidade e só demonstrado formalmente em 1999 por Thomas Hales. As abelhas chegaram lá primeiro, e o mesmo princípio reaparece nos olhos compostos dos insetos, nas colunas de basalto de formações vulcânicas e na estrutura do grafeno.
Onde esse cálculo aparece
Engenharia de materiais: núcleos honeycomb hexagonais são usados em estruturas aeronáuticas e painéis por oferecerem alta rigidez com pouquíssimo peso.
Revestimentos: ladrilhos e pastilhas hexagonais são padrão em acabamento, e a área da peça define quantas cabem por metro quadrado.
Telecomunicações: a cobertura de antenas de telefonia é modelada em células hexagonais — daí o nome "telefonia celular".
Porcas e ferramentas: a cabeça sextavada de porcas e parafusos permite encaixe da chave em seis posições diferentes.
Erros comuns
A fórmula vale para o hexágono regular; hexágonos irregulares precisam ser divididos em triângulos. Outro erro é informar a distância entre lados opostos como se fosse o lado — essa medida (comum em especificação de porcas, a "boca da chave") é o dobro da apótema, não o lado. Se o que você tem é essa medida D, o lado é l = D / √3. E, como sempre, a constante 2,598 multiplica o lado ao quadrado.
Continue por aqui
- Área do Pentágono — o polígono regular anterior, pela mesma fórmula do apótema.
- Área do Círculo — o hexágono é a melhor aproximação do círculo entre os polígonos usuais.
Perguntas frequentes
Qual a fórmula simplificada da área do hexágono regular?
A ≈ 2,598 × l². Um hexágono regular de 4 cm de lado tem área 2,598 × 16 = 41,57 cm². A constante equivale a 3√3/2.
Por que o hexágono se divide em seis triângulos equiláteros?
Porque no hexágono regular o raio (do centro ao vértice) é igual ao lado. Ligando o centro aos seis vértices, cada triângulo formado tem os três lados iguais. É dessa decomposição que a fórmula da área é deduzida.
Tenho a medida entre lados opostos, não o lado. Como converter?
Essa medida D (a "boca da chave" em porcas sextavadas) é o dobro da apótema. O lado é l = D / √3. Uma porca de 20 mm entre faces tem lado de 11,55 mm.
Por que as abelhas constroem favos hexagonais?
Porque entre as formas que preenchem o plano sem deixar vãos, o hexágono é a que envolve mais área com menos perímetro — ou seja, armazena mais mel gastando menos cera. É o teorema do favo de mel, demonstrado formalmente em 1999.